多项式(若干个单项式相加组成的代数式)

多项式（英文：polynomial）是代数的基本研究对象之一。设P是一个数域，x是一个文字，形式表达式anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0称为系数在数域P上x的一元多项式，多元多项式是一元多项式的推广，是数域P上有限个n元单项式的和。

多项式论是代数学的一个古老分支，公元前3世纪古希腊数学家欧几里得（Euclid）所著《几何原本》一书有对代数方面的文字叙述。在中国的《九章算术》(成书不晚于公元1世纪）中，有记载并介绍一次方程组的解法，在李冶的《益古演段》和秦九韶的相关著作中，以可见到用筹算的方法来表示一个方程或多项式，并在之后逐步地建立了多项式运算。16世纪，意大利代数学家求得了三次和四次方程的相应求解公式。后来，越来越多的数学家参与到方程问题的研究中，如勒内·笛卡尔（Descartes）、约瑟夫·拉格朗日（Lagrange）和尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Abel）等人，发展了许多有关多项式的复杂理论。

多项式与数一样，也可以进行相应的四则运算，但多项式的除法与整除理论密切相关。其他的运算包括求最大公因式以及因式分解，分别应用了辗转相除法以及分解重因式法。多项式在工程学、计算机科学和电信技术等领域应用广泛，如在工程学领域，可应用多项式插值法是寻求太阳帆板展开关节运动的最优轨迹；在计算机科学中，多项式函数可用于优化三角函数的计算方法。

定义

一元多项式

定义：设是一个数域,是一个文字，形式表达式称为系数在数域上的一元多项式，或称数域上的一元多项式，其中是一个自然数,是数域中的数，称为系数域或基域。在多项式中,称为次项,称为常数项,称为次项的系数，常用等表示的多项式。

例如:是有理数域上的多项式;是复数域上的多项式。

多元多项式

多元单项式的定义：设是一个数域,形如的表达式，称为上的一个元单项式，式中为个文字,为自然数。

多元多项式的定义：一般地，数域上有限个元单项式的和称为上的一个元多项式，亦称多元多项式,元多项式常用等来表示。

例如：三元四次多项式

简史

起源

多项式论是代数学的一个古老分支，早在公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得（Euclid）所著《几何原本》一书中有对代数方面的文字叙述。在中国的《九章算术》(成书不晚于公元1世纪）中，有记载并介绍一次方程组的解法，后来在李冶的《益古演段》和秦九韶的相关著作中，介绍了用筹算的方法来表示一个方程或多项式，并在之后逐步地建立了多项式的相关运算。

发展

16世纪，意大利代数学家求得了三次和四次方程的相应求解公式。后来，越来越多的数学家参与到方程问题的研究中，如勒内·笛卡尔（Descartes）、约瑟夫·拉格朗日（Lagrange）和尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Abel）等人，发展了许多有关多项式的复杂理论。多项式论以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容，讨论复数域、实数域和有理数域上的一元多项式以及多元多项式中的基础知识和基本理论，并借助多项式的性质来讨论代数方程的根的计算和分布，包括整除性理论、最大公因式、因式分解定理、重因式等内容。

四则运算

加法

设数域上元多项式和将多项式中对应的同类项的系数相加得到的元多项式，称为与的加法，简记为

减法

同多项式的加法类似，若是数域上的任意多项式，用表示把的每一个系数都变号后所得的多项式，数域上的多项式称为上的多项式与的差，记为

乘法

设数域上的两个元多项式，把的每一项分别与的每一项相乘，再把乘积相加（合并同类项）得到一个元多项式，称为与的乘积，记为

多元多项式的加法和乘法运算是一元多项式运算概念的推广，其加法和乘法运算满足交换律和结合律；乘法对加法满足分配律。

除法

在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算——除法，并不是普遍可以做的。因此整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系。

整除

如果有数城上的多项式使等式成立，那么称多项式整除记为如果不能整除则记为

当时,就称为的因式,称为的倍式。

带余除法

对于一元多项式环中任意两个多项式与其中一定有中的多项式存在，使成立，其中的次数小于或者并且这样的是唯一决定的。带余除法中所得的通常称为除的商,称为除的余式。

例如:除商式为余式为

其他运算

求最大公因式

最大公因式的定义：设多项式如果多项式满足：

2.与的任一公因式都是的因式，

则称为与的最大公因式。

特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是

辗转相除法亦称欧几里得算法，是求多项式最大公因式的一种方法。

方法：设是中不全为零的多项式，

因式分解

重因式的定义：如果数域上的不可约多项式的次幂整除且不整除则称是的一个重因式，当那么不是的因式；当时,称为的重因式；当时,称为的单因式。

分离重因式法：设是的标准分解式，且其中不可约因式的最高重数

令为的一切重因式之积，如果中没有重因式，那么令

于是由的标准分解式得

再令

则

可得

按以上方法和步骤求出的方法即为分离重因式法。

特殊多项式

不可约多项式

如果数域上次数大于零的多项式不能表示成数域上两个次数比它低的多项式的乘积，则称是数域上的不可约多项式。

本原多项式

如果非零的整系数多项式的各项系数的最大公约数为(即互质)，则称是一个本原多项式。

矩阵的多项式

设是数域上的多项式,是上的阶矩阵，

则称为矩阵的多项式。

设与是上的两个多项式，令

则

若是中的数，则

因此，数域上矩阵的多项式集合，对上述的加法、数乘与乘法构成一个交换代数。

推广

环

定义：在非空集合中定义加法加法“”和乘法“”运算，使得中任意元适合条件：

则称为结合环，简称环。

多项式环

一元多项式环

设是有单位元的交换环,是上的未定元（或称是变量）,上一切多项式

的集合记为规定的加法是同次项的系数相加，乘法是分配相乘，即其中

对多项式的加法和乘法构成一个环，称为环上一元多项式环。

n元多项式环

数域上的元多项式组成的集合记作连同所定义的加法与乘法构成一个环，它的零元素是零多项式，它有单位元素，即零次多项式它是交换环，称为数域上的元多项式环。

应用

电信技术

在数字签名方案中，有时为了验证一个签名的有效性需要耗费大量的时间。每一个批验证协议都包含签名收集协议和批验证原则两个部分。在签名产生过程中根据签名收集协议一次产生多个消息的签名；在签名验证过程中，签名验证者根据批验证原则一次验证多个签名的有效性。在设计批验证协议时，如果批验证协议不能很好地处理和判断有效的多个签名是否为有效的签名，就会出现安全漏洞。

基于多项式形式的RSA公钥体制，提出一种全新的批验证协议，它的安全性主要基于大整数的分解，有较高的安全性，且满足安全批验证协议的要求，能抵御针对批验证协议的多种伪造攻击，具有较高的理论和应用价值。

工程学

多项式的插值法是寻求在指定点取指定值的多项式问题的一种方法。

太阳能是一种无法替代的能源，它能不断地为航天器提供能量，而太阳帆板则是重要的太阳能采集转化装置。当航天动器处在太空失重环境中时，系统为自由漂浮状态，太阳帆板的运动和其航天器之间存在运动耦合关系。通过建立航天器太阳帆板展开运动模型，运用高阶多项式插值方法逼近太阳帆板关节运动轨迹，将太阳帆板关节耗散能作为目标函数，将插值多项式的系数作为优化参数，采用序列二次规划法优化求解关节运动轨迹曲线，进而求得航天器姿态角和太阳帆板关节轨线。与其他最优控制方法相比，基于高阶多项式插值方法的序列二次规划方法，具有收敛性好，计算效率高，边界搜索能力强等特点。

计算机科学

在虚拟现实的技术中，提高虚拟现实设备的真实感，要对自然景物进行比较真实的模拟。水作为自然景物的一部分，是增强虚拟环境中画面的真实感的重要元素之一。由于水的形态和光学特性比较复杂，渲染一个真实的水面效果并不容易。在对水进行实时模拟的场合中，一般使用基于构造的方法，以数学函数构造水波外形，通过改变时间参数来描述水的运动，将水面作为一个高度场，并借助三角函数对水的运动进行建模。但是，对于大型水面，特别是海面，有时会形成卷浪，高度场的方法不能很好地模拟水面，且三角函数的计算较复杂。

通过分析三角函数的泰勒展开式，应用多项式函数来优化三角函数的计算方法，可改善虚拟系统中水波模拟的实时性。多项式函数的水波模拟算法能够有效地减少计算量，并提高渲染速率。同时，通过引入多种控制波形参数，可实现水面波形的可控性，不仅能避免在波峰处形成环，还能较好地模拟卷浪效果。

参考资料

A-07 多项式函数.知乎专栏.2024-02-01

数字签名和电子签名的区别是什么?.法大大.2024-02-01

太阳能帆板 - 必应.Bing搜索.2024-02-01

广电的有线电视何时才能“破壁出圈”.新浪微博.2024-02-01

多项式

定义