垂径定理是几何学中关于圆的重要性质之一，内容是：在圆中垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。垂径定理具有许多逆命题和推论，还可以推广到圆锥曲线中。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》第三卷中第12个命题就是垂径定理，这是最早的有关垂径定理的记载。中国古代数学典籍《九章算术》勾股章所载的“圆材埋壁”问题涉及垂径定理的相关知识。在巴比伦和古印度都有垂径定理的内容和应用记载。
1794年，法国数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德在《几何基础》一书中给出并证明了垂径定理。与欧几里得不同的是，勒让德在命题中增加了“半径平分弦所对的两条弧”的结论，首次使垂径定理具有现代教材中所看到的完整形式。
垂径定理可以用来证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系，同时也为进行圆的计算、作图提供了方法和依据。利用垂径定理及其推论，结合其他数学知识，可以解决现实生活中的很多问题。
定理简史
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得的《几何原本》第三卷中第12个命题就是垂径定理。这可能是最早的有关垂径定理的记载。
根据大英博物馆所藏数学泥版BM85194、泥版BM85194和巴比伦时期数学泥版TMS1所记载的内容可以发现在古巴比伦时期（前1800—前1600）垂径定理的相关应用。
中国古代数学典籍《九章算术》勾股章所载的“圆材埋壁”问题涉及垂径定理的相关知识。
三国时期的数学家刘徽在给《九章算术》方田章“圆田术”作的注中，提出以“割圆术”作为计算圆周长、面积、圆周率的基础。割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，而在“割圆”的过程中隐含着垂径定理的内容。
公元6世纪，古印度数学家阿耶波多在其著作《阿耶波多历算书》中给出了圆的弦、矢与直径三个量之间的关系。12世纪，婆什迦罗在其著作《莉拉沃蒂》中在阿耶波多的基础上进一步给出了“矢弦法则”。
17世纪，法国数学家巴蒂在其著作《几何基础）中将垂径定理表述成“弦被经过圆心的垂线所平分”。在证明定理之后，巴蒂补充了结论“弧也被平分”。巴蒂的《几何基础》由法国来华天主教传教士译成满文和文言文，汉文后被收入康熙帝主编的《数理精蕴》中。因此作为一个几何定理，垂径定理在清代传入中国。
1741年，法国数学家克莱罗在《几何基础》第三卷命题24中给出垂径定理：如果两条线段彼此垂直，并且其中一条线段是圆的直径，那么另一条线段将被平分。克莱罗仅仅叙述了定理内容，没有给出具体的证明，不涉及定理应用。1794年，法国数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德的《几何基础》出版。书中给出并证明了垂径定理。与欧几里得和克莱罗不同的是，勒让德在命题中增加了“半径平分弦所对的两条弧”的结论，首次使垂径定理具有现代教材中所看到的完整形式。
定理内容
垂径定理
圆形是一个轴对称图形，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴。
在圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。这个结论称为垂径定理。
垂径定理可以改述为：圆的弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率之积为。
逆定理
垂径定理的逆定理主要涉及两个结论。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
定理推论
垂径定理的推论有：
垂径定理及其推论可以概括为：一条直线如果具有（1）经过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，(5)平分弦所对的劣弧五个条件中的两条，则此直线必然具备余下的三条性质，即“知二推三”。
定理证明
已知：如图1，在中，为直径，是弦，于点，交于，求证：弧=弧，弧=弧。
证明：连接。因为是的半径，所以OA=OB，所以是等腰三角形，因为，所以，（等腰三角形三线合一）所以弧=弧，，弧=弧。
定理推广
圆的垂径定理可以改述为：圆的弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率之积为。这一定理可以推广到椭圆、双曲线。
椭圆的垂径定理
圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径。对于椭圆也有类似的性质，被称为椭圆的“垂径定理”。
已知椭圆的方程为，不过椭圆中心的直线与该椭圆交于两点，为弦的中点，则直线与直线的斜率之积。
证明：设，则有和
两式相减，有，而两边同时除以，并化简可得，利用平方差公式变形，有，
而，
所以。
当时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理。这里并不要求，也就是说此结论对焦点在轴和焦点在轴上的椭圆均适用。
双曲线的垂径定理
假设双曲线的方程为，双曲线可以看成“虚椭圆”，即，因此，根据椭圆的垂径定理结论，得。
对于双曲线的垂径定理中的斜率之积。该结论对实轴在轴或在轴上的双曲线均适用。
抛物线的垂径定理
垂径定理推广到抛物线的结论为：
若点是抛物线的不平行于坐标轴且不过抛物线顶点的弦的中点，则。
定理应用
利用垂径定理及其推论，结合勾股定理和三角函数的知识，可以解决现实生活中的很多问题。
例如：“圆材埋壁”是中国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”答曰：“26寸”。
题目可以用数学语言描述为“如图2，是的直径，弦，垂足为，寸，寸，求直径的长。”
解：连接，于，是直径，
(寸）。
在中，设，则
由勾股定理得
解得，寸，
（寸），所以直径的长为26寸。
例：如图3，已知分别是圆内接的内角和外角的平分线，交于两点，求证
证明：因为平分，所以弧=弧，又因为是的外角平分线，，是的直径，所以。
定理意义
每一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。垂径定理揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一
种特殊的位置关系，反映了圆的轴对称性，是圆的重要性质之一。垂径定理是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系及三点共线的重要依据，同时也为进行圆的计算、作图提供了方法和依据。