设σ是向量空间V上的两线性形式，如果σ(x，y)=σ(y，x)，x，y∈V，则称σ为对称双线性形式。
定义
给出向量空间V上的两线性形式 如果
则 称为 对称双线性形式。
定义了对称双线性形式的向量空间 称为 内积空间。称为 中向量 和 的内积。
设 是内积空间 如果 则我们称：向量 和 是正交的，记成 设 是 的一个子空间，
称为M在V 中的正交补。
给出V的一组基 双线性形式 的矩阵表示是 如果 是对称的，则 是对称矩阵，即。
设
所以
主要性质
命题1 。
命题2 是内积空间，的秩。
命题3 是非退化的，当且仅当。
命题4 。
引理5 。
定理6 。
定理7 是内积空间，是非退化的，V中的映射 诱导一一映射：它具有以下性质:
(1) ；
(2)
(3)
(4)
(5) 。
如果M是内积空间 的子空间，是 在M上的限制：当 如果 的秩 则M称为退化子空间。
引理8M是非退化子空间的充要条件是： 。
推论设 是非退化双线性形式，则：是非退化子空间 也是非退化子空间。
定理9 是内积空间，是非退化子空间，则。