判别式

根的判别式是判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b2-4ac，用“△”表示(读做“delta”)。

定义

判别式即判定方程实根个数及分布情况的公式。

一元二次方程

任意一个一元二次方程 均可配成，因为a≠0，由平方根的意义可知，的符号可决定一元二次方程根的情况．

叫做一元二次方程 的根的判别式，用“”表示(读做“delta”)，即 ．

根的情况

方程系数为实数

在一元二次方程 中

（1）当时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，方程有两个相等的实数根；

（3）当时，方程没有实数根，方程有两个共轭虚根．

（1）和（2）合起来：当时，方程有实数根．

上面结论反过来也成立，可以具体表示为：

在一元二次方程（）中，

①当方程有两个不相等的实数根时，；

②当方程有两个相等的实数根时，；

③当方程没有实数根时，。

（1）和（2）合起来：当方程有实数根时，．

注意 根的判别式是 ，而不是 。

一元二次方程求根公式：

当 ≥0时， ，

当时，;

当 \u003c0时， (i是虚数单位)

方程系数为虚数

在一元二次方程（a、b、c是虚数）中

当时，此方程有两个相等的复根；

当时，此方程有两个不等的复根。

应用

（1）解方程，判别一元二次方程根的情况．

它有两种不同层次的类型：

①系数都为数字；

②系数中含有字母；

③系数中的字母人为地给出了一定的条件．

（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．

（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）

应用

① 解一元二次方程，判断根的情况。

② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。

④ 应用根的判别式判断三角形的形状。

⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式

⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点

方程组。

⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点

抛物线 与x轴的交点（1）当时，即有，要求x的值，需解一元二次方程。可见，抛物线 与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程 的根的情况确定的，而决定一元二次方程 的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：

1）当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程 的两根为，则抛物线与x轴的两个交点坐标为。

2）当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（ ，0）。

3）当 时，抛物线与x轴没有交点。

⑧ 利用根的判别式解有关抛物线与x轴两交点间的距离的问题。

⑨当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下。

一元三次方程

在特殊形式的一元三次方程中，其判别式为。当 时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当 时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。

在一般形式的一元三次方程中，一般采用盛金判别法，即

令

当时，方程有一个三重实根。

当时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当时，方程有三个不相等的实根。

参考资料

判别式的解释|判别式的意思|汉典“判别式”词语的解释.www.zdic.net.2022-05-17